Question

设f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；
（2）若f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b²+1≤4c；
（3）若对一切x∈R，有f(x+

1

x

)≥0，且f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为1，求b、c满足的条件．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在[-2，2]上不单调，可得二次函数的对称轴在此区间，建立不等关系，即可求得b的范围；
（2）欲使函数f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，只需x²+bx+c≥x与x²+bx+c≥-x同时成立即可；
（3）欲对一切x∈R，有f(x+

1

x

)≥0，可转化成对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0，求出

2x2+3

x2+1

的值域，再研究函数f（x）在其值域范围内的单调性，求出最大值，建立等量关系，求出b，c满足的条件．

解答：解：（1）由题意-2＜

-b

2

＜2，
∴-4＜b＜4；
（2）须x²+bx+c≥x与x²+bx+c≥-x同时成立，即

(b-1)2-4c≤0 (b+1)2-4c≤0

，∴b²+1≤4c；
（3）因为|x+

1

x

|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0．
①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

，
即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈(2，3]，
于是，f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．
故

4-2b-3b-8≥0 4+2b-3b-8≥0 -4≤b≤4

，即

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，解得b=-4，c=4．
②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，
所以，当f（2）＞f（3）时，f(

2x2+3

x2+1

)无最大值．
于是，f(

2x2+3

x2+1

)存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，
即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
综上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立问题和函数最值与几何意义，属于中档题．