Question

若f（x）是定义在R上的奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=2^1-x；当x＞1时，f（x）=f（x-1）．则函数的零点有 ________个．

Answer 1

7
分析：先利用函数的奇偶性和周期性把f（x）在原点右侧的图象画出，再把y=x的图象画出，看在原点右侧的交点个数，再利用两个函数都是奇函数的结论．
解答：解：因为当x＞1时，f（x）=f（x-1），
所以f（x+1）=f[（x+1）-1]=f（x）
在[0，+∞）上其周期为1．
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称，
又因为y=x也是奇函数，所以函数的零点关于原点对称，
故我们看在（0，+∞）上的交点个数即可，把函数f（x）与y=x的图象画出，由图得，交点3个，又因为都过原点，故零点有1+2×3=7个
故答案为 7．
点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，又可以转化为函数图象的交点问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．