Question

（2009•湖北模拟）已知函数f（x）=2x-4，g（x）=|2x-3m|，h（x）=f（x）+g（x）．给出以下四个命题：
①若h（x）＞0的解集为（0，+∞），则m的取值是m=-

4

3

；②若h（x）＞0的解集为（-∞，+∞），则m的取值是m＞

4

3

；③g(x)的图象关于点(

3m

2

，0)对称；
④g（x）的图象关于直线x=

3m

2

对称．其中正确命题的序号是

①②④

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：先将h（x）=f（x）+g（x）＞0，?g（x）＞-f（x）．分别作出函数y=g（x）=|2x-3m|，y=-f（x）=4-2x，如图，由图得其中正确命题的序号是：①②④．

解答：解：∵函数f（x）=2x-4，g（x）=|2x-3m|，h（x）=f（x）+g（x）＞0，?g（x）＞-f（x）．
分别作出函数y=g（x）=|2x-3m|，y=-f（x）=4-2x，如图，
由图得：
①若h（x）＞0的解集为（0，+∞），则m的取值是m=-

4

3

；正确．
②若h（x）＞0的解集为（-∞，+∞），则m的取值是m＞

4

3

；正确．
③g(x)的图象关于点(

3m

2

，0)对称；错误．
④g（x）的图象关于直线x=

3m

2

对称；正确．
其中正确命题的序号是 ①②④．
故答案为：①②④．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、带绝对值的函数、函数的图象、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．