Question

11．设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），利用a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，计算即得结论；
（2）通过a_n=3n-1及分离分母可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+5}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁=2，b₁=3，
∴a₃=2+2d，a₅=2+4d，b₃=3q²，b₅=3q⁴，
又∵a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，
∴2+2d+3q⁴=56，2+4d+3q²=26，
解得：d=3，q=2，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，b_n=3•2^n-1；
（2）∵a_n=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+5）}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+5}$），
并项相加得：T_n=$\frac{1}{6}$（$\frac{7}{10}$-$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{1}{3n+5}$）．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．