Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，AD⊥BD，AD=BD=2，E为BD的中点，F为PC的中点．
（1）证明：EF∥平面ADP；
（2）PD=$\sqrt{2}$，求三棱锥F-BDC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC，推导出EF∥PA，由此能证明EF∥平面ADP．
（2）点F到平面ABCD的距离是$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出三棱锥F-BDC的体积．

解答 证明：（1）如图，连结AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，且E为BD的中点，
∴AC∩BD=E，∴E为AC的中点，
又∵F为PC的中点，
∴EF是△PAC的中位线，∴EF∥PA，
又∵PA?平面ADP，EF?平面ADP，
∴EF∥平面ADP．
解：（2）∵F为PC的中点，∴点F到平面ABCD的距离是$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥F-BDC的体积V_F-BDC=$\frac{1}{3}×\frac{2×2}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．