Question

已知a＞1，函数f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[

1

2

，+∞）时的值恒为正．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=log_a

x-5

x+5

，判定g（x）在x∈（-∞，-5）上的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x²-ax+2＞1在x∈[

1

2

，+∞）时恒成立．可转化为a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）时恒成立，由(x+

1

x

)min=

5

2

，即可求a的取值范围；
（2）设任意的x₁，x₂∈（-∞，-5）且x₁＞x₂，证明g（x₁）＞g（x₂）即可．

解答： 解：（1）x²-ax+2＞1在x∈[

1

2

，+∞）时恒成立．即a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）时恒成立．
又函数x+

1

x

在[

1

2

，+∞）上是增函数，
所以(x+

1

x

)min=

5

2

，
从而1＜a＜

5

2

．
（2）函数g（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上为增函数．
证明：设任意的x₁，x₂∈（-∞，-5）且x₁＞x₂，
g（x₁）-g（x₂）=log_a

x1-5

x1+5

-log_a

x2-5

x2+5

=log_a

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

∴-5＞x₁＞x₂∴0＞x₁+5＞x₂+5，-10＞x₁-5＞x₂-5，x₁-x₂＞0
∴

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

-1=

10(x1-x2)

(x1+5)(x2-5)

＞0
∴

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

＞1，
又∵1＜a＜

5

2

∴log_a

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
故函数g（x）=log

5

2

x-5

x+5

在（-∞，-5）上为增函数．

点评：本题主要考察了对数函数图象与性质的综合应用，函数单调性的定义法证明，学生的计算能力，属于中档题．