Question

已知方程x2-(

2

cos20°)x+(cos220°-

1

2

)=0（1）证明：方程有两个相异的实数根．（2）若sinα，sinβ是该方程的两根，且α，β是锐角，求α与β．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程根的个数的判定可根据判别式的符号决定，故求△，利用三角化简可知△恒大于0，从而得到结论；
（2）利用韦达定理建立等式关系可求出sinα=cosβ，则α=90°-β，代入方程即可求出α与β．

解答：证明：(1)△=(

2

cos20°)2-4(cos220°-

1

2

)=2cos220°-4cos220°+2=2(1-cos220°)=2sin²20°＞0
∴方程有两个相异的实数根．
（2）∵sinα，sinβ是该方程的两根∴

sinα+sinβ= 2 cos20° sinαsinβ=cos220°- 1 2

将（1）²-（2）×2得：（sinα+sinβ）²-2sinαsinβ=1∴sin²α+sin²β=1∴sin²α=cos²β
∵α，β是锐角，∴sinα=cosβ，∴α=90°-β
代入（1）得：sin(90°-β)+sinβ=

2

cos20°∴

2

sin(45°+β)=

2

sin70°，
∴45°+β=70°或110°
∴β=25°或β=65°，
于是

α=25° β=65°

或

α=65° β=25°

点评：本题主要考查了一元二次根的分别于系数的关系，以及同角三角函数基本关系的运用，属于中档题．