Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC=2，BB₁=

2

．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求证：BC₁⊥平面AB₁D．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：解：（1）连接A₁B∩AB₁=O，连接OD，可得A₁C∥OD，即可证明A₁C∥面AB₁D．
（2）设D为BC中点，可证AD⊥BC₁，设B₁D∩平面BC₁=F，可证BC₁⊥B₁D，又BC₁⊥AD，AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，即可证明BC₁⊥平面AB₁D．

解答： 解：（1）连接A₁B∩AB₁=O，连接OD，
∴A₁C∥OD，
∵OD?面AB₁D，A₁C?面AB₁D，
∴A₁C∥面AB₁D…（6分）（漏线不在面内扣2分）
（2）设D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵正三棱柱中，BB₁⊥面ABC，AD?面ABC，
∴AD⊥BB₁
∵BC∩BB₁=B，BC，BC₁?平面BC₁CB₁
∴AD⊥平面BC₁CB₁，平面BC₁?平面BC₁CB₁
∴AD⊥平面BC₁
设B₁D∩平面BC₁=F
直角△DBB₁和直角△BB₁C₁中，

BD

BB1

=

1

2

=

BB1

B1C1

=

2

2

，
∴△DBB₁～△BB₁C，
∴∠BDF=∠C₁BB₁，
又∵∠CBB₁+∠FBD=90°，
∴∠BDF+∠FBD=90°，
∴BC₁⊥B₁D，…（13分）
又BC₁⊥AD，AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D．…（16分）

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查计算能力，考查了空间想象能力和转化思想的应用，属于中档题．