Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，PA=4．则三棱锥P-ABC的外接球表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=

r2+d2

，可得球的半径R

解答： 解：根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=

2

3

3

，
∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R=

r2+d2

=

4

3

3

，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=

64

3

π
故答案为：

64

3

π

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，利用半径公式R=

r2+d2

，是解答的关键．