Question

已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=

3

x和l2：y=-

3

x，其焦点在x轴上，实轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N，F为右焦点，求证：∠MFN为直角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出双曲线的方程，根据焦点在x轴上，实轴长为2，求出参数，即可求双曲线的方程；
（Ⅱ）由y=kx+1代入双曲线方程，消去y，利用△=0，求出k的值，进而求出M，N的坐标，即可证明结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，设双曲线方程为 3x2-y2=λ(λ＞0)⇒

x2

λ 3

-

y2

λ

=1．
又2a=1，∴a=1，
∴

λ 3

=1，∴λ=3，
∴方程为x2-

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：由y=kx+1代入双曲线方程，消去y得（3-k²）x²-2kx-4=0，
由

3-k2≠0 △=0

，可得

k2≠3 k2=4

，
∴k=±2，
当k=2时得 x_M=-2，代入y=2x+1得y_M=-3，
∴M（-2，-3），
由

y=2x+1 x= 1 2

⇒N(

1

2

，2)，
∴F(2，0)⇒

FM

=(-4，-3)，

FN

=(-

3

2

，2)⇒

FM

•

FN

=6-6=0⇒

FM

⊥

FN

；
当k=-2时同理得M(2，-3)，N(

1

2

，0)，F(2，0)⇒

FM

=(0，-3)，

FN

=(-

3

2

，0)⇒

FM

•

FN

=0⇒

FM

⊥

FN

，
综上：∠MFN为直角．

点评：本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．