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(本题满分15分)

已知曲线C上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1.

求曲线C的方程;过点F的直线l与曲线C交于A、B两点.(ⅰ)过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,证明;(ⅱ)是否在y轴上存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有?证明你的结论.

(Ⅰ)     (Ⅱ)  (ⅰ)略(ⅱ)


解析:

1)依题意有,由显然

,化简得;     

(2)(ⅰ) 设AB:y=kx+1,

       

抛物线方程为 

所以过抛物线上AB两点的切线斜率分别  ,

     10分

(ⅱ)设点,此时

由(ⅰ)可知

对一切k恒成立

,即时,使得无论AB怎样运动,都有 15分

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