Question

16．已知等差数列{a_n}的公差d＜0，a₃a₅=112，a₄=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，当n为何值时，S_n取得最大值？并求此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出a_n=23-3n≥0得值，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的公差d＜0，a₃a₅=112，a₄=11．
∴（a₄-d）（a₄+d）=112，
即（11-d）（11+d）=112，
则121-d²=112，
即d²=9，d=-3，
∵a₄=a₁+3d=11，
∴a₁=20，
则数列{a_n}的通项公式a_n=20-3（n-1）=23-3n；
（Ⅱ）∵a_n=23-3n，
∴由a_n=23-3n≥0得n≤$\frac{23}{3}$；
即当1≤n≤7时，a_n＞0，
当n≥8时，a_n＜0，
∴当n=7时，S_n取得最大值，求此最大值S₇=$\frac{7（20+23-21）}{2}$=77．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．