Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）在[0，1]上是减函数；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4；
③函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2；
④已知（a，b）是y=

2013

f(x)

的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2．
其中真命题的个数是

3

．

Answer 1

分析：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可得到原函数的大体图象，从而对①②③④四个选项作出判断．

解答：解：依题意，可得y=f（x）在[-1，5]上的图象如下：
①由导函数的图象可知，函数f（x）在[0，1]上是减函数，故①正确；
②由原函数图象可知，如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4，当t=5时，最大值也是4，故②错误；
③由原函数图象可知，当1≤a＜2时，直线x=a与y=f（x）有四个交点，即函数y=f（x）-a有4个零点，故③正确；
④依题意，y=

2013

f(x)

的单调递减区间，为y=f（x）的单调递增区间，由于f（2）=0，故b-a的最大值为2，正确，
故真命题的个数为3．
故答案为：3．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查作图能力与分析能力，属于难题．