Question

已知四棱锥V-ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=

3

，AD=3，VG=

3

，则该球的体积为（　　）

• A、36π
• B、9π
• C、12

  3

  π
• D、4

  3

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：分析可知，△VAC所在的圆为球的大圆，从而知要解△VAC；从而得到体积．

解答：解：∵底面ABCD为矩形，AB=

3

，AD=3，
∴AC=

3 2+32

=2

3

．
由AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD知，
△VAC所在的圆为球的大圆，
且在△VAC中，
由AC=2

3

，VG=

3

，VG⊥平面ABCD知，
VA=VC=

3 2+ 3 2

=

6

，
∴AC²=VA²+VC²，
则△VAC为直角三角形，
则球的半径R=

AC

2

=

3

．
则该球的体积为V=

4

3

πR3=

4

3

π

3

3=4

3

π．
故选D．

点评：本题考查了学生的空间想象能力，难点在于找到球的半径与四棱锥之间的量的关系．属于中档题．