Question

若动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x₀，y₀），且满足(x0-2)2+(y0+2)2≤8，则x02+y02的取值范围是（　　）

• A．[2

  2

  ，4]
• B．[2

  2

  ，2

  3

  ]
• C．[8，12]
• D．[8，16]

Answer 1

分析：根据题意，可得PQ的中点M在与l₁、l₂平行，且到l₁、l₂距离相等的直线l上，算出该直线的方程为x-y-4=0．由(x0-2)2+(y0+2)2≤8，得到点M在圆C：(x -2)2+(y +2)2=8内部或在圆C上，从而点M在直线l被圆C截得的线段AB上运动．再根据x02+y02=|OM|²，利用两点间的距离公式加以计算，可得x02+y02的取值范围．

解答：解：∵直线l₁：x-y-2=0与直线l₂：x-y-6=0互相平行，
动点P在直线l₁上，动点Q在直线l₂上，
∴PQ的中点M在与l₁、l₂平行，且到l₁、l₂距离相等的直线上，
设该直线为l，方程为x-y+m=0，
由

|m+2|

2

=

|m+6|

2

解得m=-4，可得直线l方程为x-y-4=0，
∵点M（x₀，y₀）满足(x0-2)2+(y0+2)2≤8，
∴点M在圆C：(x -2)2+(y +2)2=8内部或在圆C上，
因此，设直线l交圆C于A、B，可得点M在线段AB上运动．
∵x02+y02=|OM|²，
∴运动点M，当M与A或B重合时，|OM|达到最大值，当M与圆心C重合时，OC⊥AB，|OM|达到最小值．
∵A（0，-4），B（4，0），C（2，-2），
∴x02+y02的最小值为2 2+(-2) 2=8；x02+y02的最大值为16．
故x02+y02的取值范围是[8，16]．
故选：D

点评：本题考查了平行线间的距离公式、两点间的距离公式、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．