Question

【题目】已知椭圆E： ，圆O：x2+y2=a2与y轴正半轴交于点B，过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点A，若∠AOB=60°，则椭圆E的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由∠AOB=60°，可得△ABO为等边三角形，即|AB|=a，

设直线AB的方程为y=kx+a（k＞0），

圆心到直线的距离为d= ，弦长|AB|=a=2 ，

解得k= ，

可得直线y= x+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，

可得（b2+ a2）x2+ a3x+a4﹣a2b2=0，

由直线和椭圆相切，可得：△= a6﹣4（b2+ a2）（a4﹣a2b2）=0，

化简可得b2= a2，

由b2=a2﹣c2，可得c2= a2，

即有e= ．

故选：D．