Question

【题目】设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=（ ）1﹣x ， 则
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函数f（x）的一个对称轴；
⑤当x∈（3，4）时，f（x）=（ ）x﹣3 ．
其中所有正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④⑤
【解析】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）﹣1]=f（x），
即①2是函数f（x）的一个周期，正确；
当x∈[0，1]时，f（x）=（ ）1﹣x为增函数；
由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得：当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数；
再由函数的周期为2，可得：
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，正确；
由②得：当x=2k，k∈Z时，函数取最小值 ，
当x=2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，
故③函数f（x）的最大值是1，最小值是0，错误；
由②得：④x=k，k∈Z均为函数图象的对称轴，
故④x=1是函数f（x）的一个对称轴，正确；
⑤当x∈（3，4）时，4﹣x=（0，1），
即f（4﹣x）=f（2﹣x）=f（﹣x）=f（x）=（ ）1﹣（4﹣x）=（ ）x﹣3 ，
即④f（x）=（ ）x﹣3 ． 正确
故答案为：①②④⑤
根据已知，确定函数f（x）的周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值等，进而判断各个命题的真假，可得答案．