Question

3．已知椭圆C的两焦点分别为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），长轴长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点和长轴长，可得c=2$\sqrt{2}$，a=3，再由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）求得直线方程y=x+2代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）由F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），长轴长为6，
得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，所以b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$①，
∵直线AB的方程为y=x+2②，
把②代入①得化简并整理得10x²+36x+27=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
则$|{AB}|=\sqrt{（{1+{1^2}}）（{\frac{{{{18}^2}}}{5^2}-4×\frac{27}{10}}）}=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．