Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值
（Ⅱ）若a=

1

2

，讨论函数f（x）的单调性，并求极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义，求得a的值，再利用切点（1，f（1）在直线2x-y+b=0上，可得b的值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性及极值．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）定义域为（0，+∞），f′(x)=a(1-

1

x2

)-

2

x

．
又由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，则f^′（1）=2a-2=2，解得a=2
∵f（1）=0，∴切点为（1，0）代入切线方程2x-y+b=0可得b=-2，
故a=2，b=-2．
（Ⅱ） 当a=

1

2

时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=

1

2

（1+

1

x2

）-

2

x

=

x2-4x+1

2x2

∴x∈（0，2-

3

）时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x∈（2-

3

，2+

3

）时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
x∈（2+

3

，+∞）时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
又f（2-

3

）=-

3

-2ln（2-

3

）=-

3

+2ln（2+

3

），
f（2+

3

）=

3

-2ln（2+

3

）．
故函数f（x）在区间（0，2-

3

），（2+

3

，+∞）上单调递增，在区间（2-

3

，2+

3

上单调递减；
x=2-

3

时，函数f（x）取得极大值-

3

+2ln（2+

3

），x=2+

3

时，函数f（x）取得极小值

3

-2ln（2+

3

）．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．