Question

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数f（x）的单调性；
（3）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，2），根据点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意知当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

3

x

=

2x2-3

x

，f（x）在（1，e]内单调性．当x≥e时，f′(x)=2x+

3

x

＞0恒成立，故f（x）在[e，+∞）内单调递增．由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间；
（3）分x≥e和x＜e两种情况讨论．分别对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f（x）的单调性后可得到答案．

解答：解（1）当a=1时，f（x）=x²+|lnx-1|=

x2+lnx-1，x≥e x2-lnx+1，0＜x＜e

，
当0＜x＜e时，f′（x）=2x-

1

x

，f'（1）=1，
令x=1得f（1）=2，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）当a=3时，f（x）=x²+3|lnx-1|
=

x2-3lnx+3  (0＜x≤e) x2+3lnx-3  (x＞e)

当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

3

x

=

2x2-3

x

，
f（x）在（0，

6

2

]内单调递减，在（

6

2

，e]上单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+

3

x

＞0恒成立，
故f（x）在（0，

6

2

]内单调递减，在（

6

2

，+∞）上单调递增；
（3）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+1，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
（i）当

a 2

≤1，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，y_min=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当 1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²时，
f'（x）在 x∈(1，

a 2

)时为负数，在间 x∈( 

a 2

，e)时为正数
所以f（x）在区间 [1，

a 2

)上为减函数，在 (

a 2

，e]上为增函数
故当 x=

a 2

时，ymin=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此时 f(

a 2

)＜f(e)
（iii）当

a 2

≥e；即a≥2e²时，
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，y_min=f（e）=e²．
综上所述，当a≥2e²时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e²．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e²；
当2＜a＜2e²时，f（x）在x≥e时的最小值为 f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
而 f(

a 2

)＜f(e)，
所以此时f（x）的最小值为 f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

．
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e²，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为 ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 ，2＜a≤2e2 e2，a＞2e2

．

点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，考查运算能力，属中档题．