Question

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，设点Q₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃-Q_n，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求直线PQ₁的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记Q_n到直线P_nQ_n+1的距离为d_n，求证：n≥2时，++…＞3．

Answer 1

解：（1）令Q₁（a₁，a₁²），由y′=2x得…（1分）
即 故a₁=2…（2分）
∴k_QP=4，则切线l₁的方程为：4x-y-4=0…（4分）
（2）令Q_n（a_n，a_n²），则Q_n-1（a_n-1，a_n-1²），P_n-1（a_n-1，0），
∴…（5分）
化简得，（n≥2），…（6分）
故数列{a_n}是以2为首项2为公比的等比数列…（7分）
所以a_n=2ⁿ…（9分）
（3）由（2）知P_n-1（2ⁿ，0），Q_n-1（2ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺²），Q_n（2ⁿ，2²ⁿ），
故，∴：2ⁿ⁺²x-y-2²ⁿ⁺²=0…（10分）
∴=＜=．…（11分）
∴…（12分）
故++…＞=4×=4[1-]＞4＞3．…（14分）
分析：（1）求出函数的导数，利用斜率相等，求出a₁，然后求直线PQ₁的方程；
（2）通过求解函数的导数与切线的斜率，判断数列{a_n}是等差数列，然后求出它的通项公式；
（3）利用Q_n到直线P_nQ_n+1的距离为d_n，通过公式利用基本不等式，即可通过累加法证明n≥2时，++…＞3．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数与直线的切线的关系，点到直线的距离公式的应用，基本不等式以及累加法证明不等式的方法，考查计算能力．