Question

已知圆C过点O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设圆C的方程为 x²+y²+dx+ey+f=0，则由题意可得

f=0 1+9+d+3e+f=0 16+4d+f=0

，解得a、b、c的值，
即可求得圆的方程．
（2）由题意可得，点C在直线MN的下方，在等腰三角形MCN中，可得点C到直线MN的距离等于

5

2

，
即

5

2

=

|2+2+m|

5

，由此解得m的值．

解答：解：（1）设圆C的方程为 x²+y²+dx+ey+f=0，则由题意可得

f=0 1+9+d+3e+f=0 16+4d+f=0

，解得 

d=-4 e=-2 f=0

，
∴圆C的方程为 为 x²+y²-4x-2y=0．
（2）由于直线l：x+2y+m=0的斜率等于-

1

2

，而OC的斜率为

1

2

，故直线l和OC垂直．
∵∠MON=60°，点O在圆C上，∴∠MCN=120°，且点C在直线MN的下方．
在等腰三角形MCN中，可得点C到直线MN的距离等于rcos60°=

5

2

，
即

5

2

=

|2+2+m|

5

，解得 m=-

3

2

，m=-

13

2

．
经检验可得，m=-

3

2

时，点C在直线l的上方，不满足题意，舍去．
故只有 m=-

13

2

．

点评：本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．