Question

1．已知$\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$是互相垂直的单位向量，向量$\overrightarrow{a_n}$满足：$\overrightarrow i•\overrightarrow{a_n}=n$，$\overrightarrow j•\overrightarrow{a_n}=2n+1$，n∈N^*，设θ_n为$\overrightarrow i$和$\overrightarrow{a_n}$的夹角，则（　　）

• A． θ_n随着n的增大而增大
• B． θ_n随着n的增大而减小
• C． 随着n的增大，θ_n先增大后减小
• D． 随着n的增大，θ_n先减小后增大

Answer 1

分析 分别以 $\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则$\overrightarrow i$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），设$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n），进而可求出tanθ_n，结合函数的单调性即可判断．

解答 解：分别以 $\overrightarrow i$和$\overrightarrow j$所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则$\overrightarrow i$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），
设$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n），
∵$\overrightarrow i•\overrightarrow{a_n}=n$，$\overrightarrow j•\overrightarrow{a_n}=2n+1$，n∈N^*，
∴x_n=n，y_n=2n+1，n∈N^*，
∴$\overrightarrow{a_n}$=（n，2n+1），n∈N^*，
∵θ_n为$\overrightarrow i$和$\overrightarrow{a_n}$的夹角，
∴tanθ_n=$\frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}$=$\frac{2n+1}{n}$=2+$\frac{1}{n}$
∴y=tanθ_n为减函数，
∴θ_n随着n的增大而减小．
故选：B．

点评 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．