Question

已知直线l：x-y-m=0经过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，l与C交与A，B两点，若|AB|=6．则p的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得m和p的关系式，把直线与抛物线方程联立消去y后，结合韦达定理和焦点弦公式，求出满足条件的p值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），
代入直线l：x-y-m=0得，m=

p

2

，则直线l的方程是x-y-

p

2

=0，
由

y2=2px x-y- p 2 =0

得，x2-3px+

p2

4

=0，
则x₁+x₂=3p，且△=9p2-4×

p2

4

＞0，
因为|AB|=6，所以x₁+x₂+p=6，即4p=6，得p=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查抛物线的简单性质和焦点弦公式，韦达定理的应用，以及直线与圆锥曲线的关系．