Question

15．设数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，记S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）若S₃，S₁₃，S₈成等差数列．
    ①求证：b_m+1，b_m+11，b_m+6（m∈N⁺}成等差数列；
    ②是否存在正整数k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差数列？并说明理由；
（2）若公差d＞0，公比q＞1．集合{a₁，a₂，a₃}∪{b₁，b₂，b₃}={1，2，3，4，5}，从{a_n}中取出s（s∈N⁺，s＞1）项，从{b_n}中取出t（t∈N⁺，t＞1）项，按照某一顺序排列构成s+t项的等差数列{C_n}，当s+t取到最大值时，求数列{C_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）①由题意列式求得2q¹⁰=1+q⁵，进一步得到$2{a}_{1}{q}^{m+10}={a}_{1}{q}^{m}+{a}_{1}{q}^{m+5}$，即b_m+1，b_m+11，b_m+6（m∈N⁺}成等差数列；
②假设存在正整数k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差数列，由等差数列的性质可得${q}^{5}=-\frac{1}{2}$．代入S₁，S₁₃，S₈验证不成立；
（2）由题意可得a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=4，求得${a}_{n}=2n-1，{b}_{n}={2}^{n-1}$，结合s＞1，t＞1，可得从{a_n}，{b_n}中至少各取两项，然后分{b_n}中不取1和{b_n}中取1讨论求得：c_n=n．

解答 （1）①证明：∵S₃，S₁₃，S₈成等差数列，∴2S₁₃=S₃+S₈，
又∵q≠1，∴$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{13}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，即2q¹³=q³+q⁸，
∴2q¹⁰=1+q⁵，则$2{a}_{1}{q}^{m+10}={a}_{1}{q}^{m}+{a}_{1}{q}^{m+5}$，即2b_m+11=b_m+1+b_m+6，
∴b_m+1，b_m+11，b_m+6成等差数列；
②解：假设存在正整数k，使得（S_k）²，（S_k+10）²，（S_k+5）²成等差数列，
则2（S_k+10）²=（S_k）²+（S_k+5）²，
∴$2（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+10}）}{1-q}）^{2}=（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}）^{2}+（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+5}）}{1-q}）^{2}$，
∴2（1-q^k+10）²=（1-q^k）²+（1-q^k+5）²，
由2q¹⁰=1+q⁵，得${q}^{5}=-\frac{1}{2}$．
代入化简得：$\frac{9}{8}{q}^{2k}=0$．
∴q不存在；
（2）解：∵d＞0，q＞1．且{a₁，a₂，a₃}∪{b₁，b₂，b₃}={1，2，3，4，5}，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴${a}_{n}=2n-1，{b}_{n}={2}^{n-1}$，
∵s＞1，t＞1，
∴从{a_n}，{b_n}中至少各取两项，
若{b_n}中不取1，则{b_n}中取出的数都是偶数，而数列{a_n}中全是奇数，
∴数列{C_n}中的项必是奇偶相间，
∵${b}_{n}={2}^{n}-1$，∴b_n-b_j＜b_k-b_n，则取出的等比数列的项只能为两项，
数列{a_n}中的项最多取出三项，若取出的项多于三项，则数列{c_n}中必有连续两项是数列{a_n}中的项，
∴（s+t）_max=5，
另外，要使得（s+t）_max=5，数列{c_n}不可能是b_i，a_j，b_m，a_n，b_k，…，
∵b_m-b_i＜b_k-b_m，∴{c_n}不可能是等差数列．
下面证明（s+t）_max=5能取到：
设数列{c_n}的公差为d₁，
∵a_i，b_j，a_m，b_n，a_k成等差数列，
∴${d}_{1}={2}^{j-1}-（2i-1）$，
∴b_k=a_i+3d₁，即2^k-1=3•2^j-1-2（2i-1）且h≥j+1，
若h≥j+2，则2^k-1≥2^j+1，即3•2^j-1-2（2i-1）≥2^j+1，
化简得：-2（2i-1）≥2^j-1，矛盾，
∴h=j+1，
∴3•2^j-1-2（2i-1）=2^j，有2i-1=2^j-2，
∵2i-1为奇数，∴j=2，h=3．
∴b_j=b₂=2，b_k=b₃=4，
∴c_n=n；
若数列{b_n}中取1，可以将1看成数列{a_n}，
则数列{c_n}为1，b_i，a_j，b_m，a_n，
∴b_m=1+3d₁，即2^m-1=1+3（2^i-1-1），
若m≥i+2，则2^m-1≥2ⁱ⁺¹，即3•2^i-1-2≥2ⁱ⁺¹，
化简得：-2≥2^i-1，矛盾．
∴m=i+1，
∴2²=3•2^i-1-2，即2^i-1=2，得i=2，
∴b_i=b₂=2，
∴c_n=n．
综上所得：c_n=n．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查了等差数列的性质，训练了学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属难题．