Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆经过点A（2，0）和点B（3，1），且圆心C在直线x-y-3=0上，过点P（0，1）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．求圆C的方程，同时求出k的取值范围．

Answer 1

分析 通过A（2，0）、B（3，1）可知AB的中垂线方程y=-x+3，将其与直线x-y-3=0联立即可求出圆心坐标，进而可知半径、圆C的方程，利用直线与圆有两个不同的交点可知圆心到直线的距离小于半径，计算即得结论．

解答 解：∵A（2，0）、B（3，1），
∴直线AB的斜率为$\frac{1-0}{3-2}$=1，相等AB的中点为（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴AB的中垂线方程为：y=-x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，
解得圆心坐标为（3，0），
∴半径为$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-0）^{2}}$=1，
∴圆的方程为：（x-3）²+y²=1；
记过点P（0，1）且斜率为k的直线为l，
则l方程为：y=kx+1，
∵直线l与圆C相交于不同的两点，
∴圆心C都直线l的距离小于半径，
∴$\frac{|3k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜1，
解得：-$\frac{3}{4}$＜k＜0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．