Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC与x轴交于点M，当△MAF的面积为

1

2

，求△MAC的内切圆方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆E的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

，知

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点A关于x轴的对称点为C，知C（x₁，-y₁），设直线l的方程为y=k（x+1），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此入手能求出△MAC的内切圆方程．

解答：解：（I）设椭圆E的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵椭圆E过点（0，1），离心率为

2

2

，
∴

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆E的方程为：

x2

2

+y2=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A关于x轴的对称点为C，∴C（x₁，-y₁），
设直线l的方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
由直线BC的方程为：y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
得y=

y2+y1

x2-x1

x-

x1y2+x2y1

x2-x1

，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y2+y1

=

2kx1x2+k(x1+x2)

k(x1+x2)+2k

=-2．
∴M（-2，0）．
∵S△MAF=

1

2

|MF|•|y1|=

1

2

，
得y₁=±1，
∴A（0，1），C（0，-1），或A（0，-1），C（0，1）．
由MF为∠CMA的平分线，设内切圆的圆心P（t，0），（-2＜t＜0）
圆P的方程为（x-t）²+y²=t²，与直线MA，AC相切，
由

|t+2|

5

=-t，得t=

1- 5

2

，
∴△MAC的内切圆方程为（x-

1- 5

2

）²+y²=

3- 5

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．