Question

8．过点M（2，4）作互相垂直的两条直线l₁，l₂，直线l₁与x轴正半轴交于点A，直线l₂与y轴正半轴交于点B．
（1）求当△A0B的面积达到最大值时，原点到直线AB的距离；
（2）若直线AB将四边形0AMB分成两部分，且S_△AOB=$\frac{1}{3}$S_{四边形OAMB}，求直线l₁的斜率．．

Answer 1

分析 （1）当直线l₁斜率不存在时，△AOB的面积等于4，当直线l₁斜率存在时，可设其方程为y-4=k（x-2），故l₂方程为y-4=-$\frac{1}{k}$（x-2），求出A，B两点的坐标，
得到S（k）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{k}$）（4+$\frac{2}{k}$）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，根据函数的性质求出最值，得到直线AB方程，根据点到直线的距离求出答案；
（2）当直线斜率l₁不存在时，四边形OAMB面积等于8，△AOB的面积等于4，不符合题意；
当直线斜率l₁存在时，由（1）知，S（k）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4=$\frac{8}{3}$，解得即可．

解答 解：（1）当直线l₁斜率不存在时，△AOB的面积等于4；
当直线l₁斜率存在时，可设其方程为y-4=k（x-2），令y=0，得A（2-$\frac{4}{k}$，0）．
因与l₂互相垂直，故l₂方程为y-4=-$\frac{1}{k}$（x-2），令x=0，得B（0，4+$\frac{2}{k}$）．
此时△AOB的面积S（k）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{k}$）（4+$\frac{2}{k}$）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，
于是当k=-$\frac{4}{3}$时，S（k）取最大值$\frac{25}{4}$．
由于$\frac{25}{4}$＞4，所以当△AOB的面积达到最大值时，A（5，0），B（0，$\frac{5}{2}$），
∴直线AB的方程为$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{\frac{5}{2}}$=1，即x+2y-5=0，
∴原点到直线AB的距离d=$\frac{5}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
（2）当直线斜率l₁不存在时，四边形OAMB面积等于8，
△AOB的面积等于4，不符合题意；
当直线斜率l₁存在时，由（1）知，S（k）=-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4，
∵S_△AOB=$\frac{1}{3}$S_{四边形OAMB}，
∴-$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{6}{k}$+4=$\frac{1}{3}$×8，
即2k²-9k-6=0，
解得k=$\frac{9±\sqrt{129}}{4}$．

点评 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，考查了分类讨论的数学思想，同时要求学生掌握圆的一些基本性质，是一道综合题．学生做题时不要忽视斜率不存在时的情况