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    （2011•徐州模拟）如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y=
    2
    9x
    (
    1
    3
    ≤x≤
    2
    3
    )    的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f（t）表示该地块在直路左下部分的面积．
    （1）求f（t）的解析式；
    （2）求面积S=f（t）的最大值．
    分析：（1）求出函数y=
    2
    9x
    的导函数，写出经过P（t，
    2
    9t
    ）的切线方程并得到切线在两坐标轴上的截距，然后根据两截距与1的关系对t分类，求出t在不同范围内的切线左下方的面积，则分段函数的解析式可求；
    （2）直接利用二次函数的单调性求各区间段内函数的最值，然后各段内最大值的最大者．
    解答：解：（1）因为y=
    2
    9x
    ，所以y′=-
    2
    9x2
    ，又P（t，
    2
    9t
    ），
    所以过点P的切线方程为y-
    2
    9t
    =-
    2
    9t2
    (x-t)    ，即y=-
    2
    9t2
    x+
    4
    9t
    ，
    令x=0，得y=
    4
    9t
    ，令y=0，得x=2t．
    所以切线与x轴交点E（2t，0），切线与y轴交点F(0，
    4
    9t
    )    ．
    ①当
    2t≤1
    4
    9t
    ≤1
    1
    3
    ≤t≤
    2
    3
    ，即
    4
    9
    ≤t≤
    1
    2
    时，切线左下方的区域为一直角三角形，
    所以f(t)=
    1
    2
    ×2t×
    4
    9t
    =
    4
    9
    ；
    ②当
    2t＞1
    4
    9t
    ≤1
    1
    3
    ≤t≤
    2
    3
    ，即
    1
    2
    ＜t≤
    2
    3
    时，切线左下方的区域为一直角梯形，
    f(t)=
    1
    2
    (
    4
    9t
    +
    4t-2
    9t2
    )•1=
    4t-1
    9t2
    ；
    ③当
    2t≤1
    4
    9t
    ＞1
    1
    3
    ≤t≤
    2
    3
    ，即
    1
    3
    ≤t＜
    4
    9
    时，切线左下方的区域为一直角梯形，
    所以f(t)=
    1
    2
    (
    4t-9t2
    2
    +2t)•1=2t-
    9
    4
    t2    ．
    综上f(t)=
    2t-
    9
    4
    t2，
    1
    3
    ≤t＜
    4
    9
    4
    9
    ，
    4
    9
    ≤t≤
    1
    2
    4t-1
    9t2
    ，
    1
    2
    ＜t≤
    2
    3
    ．
    （2）当
    1
    3
    ≤t＜
    4
    9
    时，f(t)=2t-
    9
    4
    t2    =-
    9
    4
    (t-
    4
    9
    )2+
    4
    9
    ＜
    4
    9
    ，
    当
    1
    2
    ＜t≤
    2
    3
    时，f(t)=
    4t-1
    9t2
    =-
    1
    9
    (
    1
    t
    -2)2+
    4
    9
    ＜
    4
    9
    ，
    所以Smax=
    4
    9
    ．
    所以面积S=f（t）的最大值为
    4
    9
    ．
    点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用二次函数的单调性求函数的最值，需要注意的是分段函数的最值要分段求，属中档题．
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    2
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