Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=AA1 ， ∠BAA1=∠BAC=60°，点O是线段AB的中点． （Ⅰ）证明：BC1∥平面OA1C；
（Ⅱ）若AB=2，A1C= ，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接OC，OA1 ， A1B．∵CA=CB，∴OC⊥AB． ∵CA=AB=AA1 ， ∠BAA1=∠BAC=60°，
故△AA1B、△ABC都为等边三角形，
∴OA1⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA1、OC两两垂直，
以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设CA=CB=AA1=2，
则B（﹣1，0，0），C1（﹣1， ， ），O（0，0，0），
A1（0， ，0），C（0，0， ），
=（0， , ）， =（0， ,0）， =（0，0， ），
设平面OA1C的法向量 =（1，0，0），
∵ =0，且BC1平面OA1C，
∴BC1∥平面OA1C．
解：（Ⅱ）∵AB=2，A1C= ，∴B（﹣1，0，0），C（0，0， ），A1（0， ,0），
=（1，0， ）， =（1， ,0），
设平面BCA1的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x= ，得 ，
平面ABC的法向量 =（0，0，1），
设二面角A﹣BC﹣A1的平面角为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）连接OC，OA1 ， A1B，以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1∥平面OA1C．（Ⅱ）求出平面BCA1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．