Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的任一点（D与B，C不重合），
且|

AB

|²=|

AD

|²+|

BD

|•|

DC

|，试建立适当的直角坐标系，证明：△ABC为等腰三角形．

Answer 1

分析：根据三角形的特点以一个顶点为原点，以一条边为坐标轴建立直角坐标系，由条件求出各点的坐标，代入向量的式子，根据向量模的运算进行化简，在求出三角形的边长，即证出结论．

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，
则B（0，0），C（c，0），A（a，b），
D（x，0）（0＜x＜c）
∴

AB

=（-a，-b），

AD

=（x-a，-b），

BD

=（x，0），

DC

=（c-x，0），
∵|

AB

|²=|

AD

|²+|

BD

|•|

DC

|
∴a²+b²=（a-x）²+b²+x•（c-x）
∴a²+b²=a²+x²-2ax+cx-x²，
∴2ax=cx
∵0＜x＜c，∴2a=c，
∴|

AB

|=a²+b²，|

AC

|=（a-c）²+b²=a²+b²=|

AB

|，
∴△ABC为等腰三角形．

点评：本题考查了利用向量的数量积运算以及向量的坐标运算求向量的模，主要建立坐标系利用图形中的垂直条件，尽量把点放在坐标轴上．