Question

（2012•闵行区一模）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}-min{g（x）|x∈[1，3]}，记d（b）=min{h（a）|a∈R}．
（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=

b-1

2

时，求h（a）关于a的表达式；
（3）试写出h（a）的表达式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，可得函数g（x）的解析式，利用函数在[1，3]上单调递减，即可求a的取值范围；
（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，g(x)=

(a-1)x+4a+2，x∈[1，2a+1] ax+2a+1，      x∈(2a+1，3]

，确定函数的单调性，求得函数的最值，即可求h（a）关于a的表达式；
（3）g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

，分类讨论，确定函数的最小值，利用函数的单调性，确定d（b）=min{h（a）|a∈R}，从而可求max{d（b）|b∈（1，3）}．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

-x+2b，x∈[1，b] b，      x∈(b，3]

（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，
∴g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

（2分）
由题意

a-1＜0 a＜0

，∴a＜0    （4分）
（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，g(x)=

(a-1)x+4a+2，x∈[1，2a+1] ax+2a+1，      x∈(2a+1，3]

，
显然g（x）在[1，2a+1]上单调递减，在[2a+1，3]上单调递增，又此时g（1）=g（3）=5a+1
故max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=g（3）=5a+1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（2a+1）=2a²+3a+1，（4分）
从而：h（a）=-2a²+2a，a∈（0，1）．                          （6分）
（3）g(x)=

(a-1)x+2b，x∈[1，b] ax+b，      x∈(b，3]

①当a≤0时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b
此时，h（a）=-2a+b-1
②当a≥1时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1
此时，h（a）=2a-b+1                （2分）
③当0＜a≤

b-1

2

时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此时，h（a）=a+b-ab-1
④当

b-1

2

＜a＜1时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此时，h（a）=3a-ab
故h（a）=

-2a+b-1，a≤0 (1-b)a+b-1，0＜a≤ b-1 2 (3-b)a， b-1 2 ＜a＜1 2a-b+1，a≥1

，（4分）
因h（a）在（-∞，

b-1

2

]上单调递减，在[

b-1

2

，+∞）单调递增，
故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（

b-1

2

）=

(3-b)(b-1)

2

，（6分）
故当b=2时，得max{d（b）|b∈（1，3）}=

1

2

．        （8分）

点评：本题考查函数的解析式，考查函数的最值的求解，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是解题的关键．