Question

【题目】已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．

（1）证明：；

（2）若的面积，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；

（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.

（1）设点、，则，

直线的方程为：，

由，消去并整理得，

由韦达定理可知，，，

代入直线的方程，得，解得，

同理，可得，

，，

,代入得，

因此，；

（2）设点到直线、的距离分别为、，则，

由（1）知，，，

，，，

同理，得，，

由，整理得，由韦达定理得，，

，得，

设点到直线的高为，则，

，

，

，解得，因此，实数的取值范围是.