Question

15．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4^b₁-1•4^b₂-1•4^b₃-1…4^b_n-1=（a_n+1）^b_n，证明：{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+1变形可得a_n+1+1=2（a_n+1），进而可得a_n+1=2ⁿ，从而可得结论；
（2）通过同底指数幂的运算性质，可得${4}^{{（b}_{1}+{b}_{2}+{…+b}_{n}）-n}$=$（{2}^{n}）^{{b}_{n}}$，两边取对数得2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，进而2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，两式相减并整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，进而nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，再两式相减即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，
又∵a₁=1，∴1+a₁=2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（2）证明：∵4^b₁-1•4^b₂-1•4^b₃-1…4^b_n-1=（a_n+1）^b_n，
∴${4}^{{（b}_{1}+{b}_{2}+{…+b}_{n}）-n}$=$（{2}^{n}）^{{b}_{n}}$，
两边取对数，得：log₂${4}^{{（b}_{1}+{b}_{2}+{…+b}_{n}）-n}$=log₂$（{2}^{n}）^{{b}_{n}}$，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=nb_n，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，
两式相减得：b_n+1-1=$\frac{n+1}{2}$b_n+1-$\frac{n}{2}$b_n，
整理得：（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，
∴nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，
两式相减得：nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
∴b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列．

点评 本题考查利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，利用数列的递推公式转化数列的和与项之间的关系，裂项求解数列的和的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．