Question

△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB=csinC+

2

asinB
（I）求角C；
（II）求

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知先用正弦定理化简可得a2+b2=c2+

2

ab，然后结合余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

可求cosC，进而可求C
（II）由（I）所求C及三角形的内角和可得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sinA-cos(

3π

4

-A+

π

4

)，展开利用辅助角公式化简后，结合正弦函数的性质可求最大值

解答：解：（I）∵asinA+bsinB=csinC+

2

asinB
∴a2+b2=c2+

2

ab
即a2+b2-c2=

2

ab
由余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

∵C∈（0，π）
∴C=

π

4

（II）由题意可得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sinA-cos(

3π

4

-A+

π

4

)
=

3

sinA-cosA=2(

3

2

sinA+

1

2

cosA)
=2sin（A+

π

6

）
∵A∈（0，π）
∴A+

π

6

∈(

π

6

，

11π

12

)
∴-1≤2sin(A+

π

6

)≤2
∴

3

sinA-cos(B+

π

4

)的最大值为2

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及辅助角公式、和差角公式在三角求解中的综合应用