Question

设函数f（x）=a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂），其中a，b，α₁，α₂为已知实常数，下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是

①②③

．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f(

π

2

)=0，则函数f（x）为偶函数．

Answer 1

分析：先由f（0）=0，得出a•sin（α₁）+b•sin（α₂）=0，要判断函数为奇函数，只需验证f（-x）+f（x）=0；然后由f（

π

2

）=0，得出-a•cos（α₁）-b•cos（α₂）=0，要判断函数为偶函数，只需验证f（-x）-f（x）=0，从而得到f(0)=f(

π

2

)=0时的结论．

解答：解：若f（0）=0，则f（0）=a•sin（α₁）+b•sin（α₂）=0，
f（-x）+f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）+a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂）=0，
∴函数f（x）为奇函数；
若f（

π

2

）=0，则f（

π

2

）=a•sin（

π

2

+α₁）+b•sin（

π

2

+α₂）=-a•cos（α₁）-b•cos（α₂）=0，
∴f（-x）-f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）-a•sin（x+α₁）-b•sin（x+α₂）=0，
∴函数f（x）为偶函数；
对于①若f（0）=f（

π

2

）=0，则函数f（x）为奇函数，也为偶函数，∴f（x）=0对任意实数x恒成立；
对于②，若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数为真命题；
对于③，若f(

π

2

)=0，则函数f（x）为偶函数为真命题．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了命题的真假的判定，以及三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，解题的关键是一一判断，属于基础题．