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设函数f(x)=a•sin(x+α1)+b•sin(x+α2),其中a,b,α1,α2为已知实常数,下列关于函数f(x)的性质判断正确的命题的序号是
①②③
①②③

①若f(0)=f(
π
2
)=0
,则f(x)=0对任意实数x恒成立;
②若f(0)=0,则函数f(x)为奇函数;
③若f(
π
2
)=0
,则函数f(x)为偶函数.
分析:先由f(0)=0,得出a•sin(α1)+b•sin(α2)=0,要判断函数为奇函数,只需验证f(-x)+f(x)=0;然后由f(
π
2
)=0,得出-a•cos(α1)-b•cos(α2)=0,要判断函数为偶函数,只需验证f(-x)-f(x)=0,从而得到f(0)=f(
π
2
)=0
时的结论.
解答:解:若f(0)=0,则f(0)=a•sin(α1)+b•sin(α2)=0,
f(-x)+f(x)=a•sin(-x+α1)+b•sin(-x+α2)+a•sin(x+α1)+b•sin(x+α2)=0,
∴函数f(x)为奇函数;
若f(
π
2
)=0,则f(
π
2
)=a•sin(
π
2
1)+b•sin(
π
2
2)=-a•cos(α1)-b•cos(α2)=0,
∴f(-x)-f(x)=a•sin(-x+α1)+b•sin(-x+α2)-a•sin(x+α1)-b•sin(x+α2)=0,
∴函数f(x)为偶函数;
对于①若f(0)=f(
π
2
)=0,则函数f(x)为奇函数,也为偶函数,∴f(x)=0对任意实数x恒成立;
对于②,若f(0)=0,则函数f(x)为奇函数为真命题;
对于③,若f(
π
2
)=0
,则函数f(x)为偶函数为真命题.
故答案为:①②③
点评:本题主要考查了命题的真假的判定,以及三角函数的化简,考查新定义三角函数的性质,解题的关键是一一判断,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=A+Bsinx,若B<0时,f(x)的最大值是
3
2
,最小值是-
1
2
,则A=
 
,B=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
a
b
其中向量
a
=(2cosx,1),b=(cosx,
3
sin2x+m)

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈[0,
π
6
]
时,f(x)的最大值为4,求m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象过点(0,1)和点(
π
2
,1)
,当x∈[0,
π
2
]
时,|f(x)|<2,则实数a的取值范围是(  )
A、-
2
<a≤1
B、1≤a<4+3
2
C、-
2
<a<4+3
2
D、-a<a<2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,-1)(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(A)=-
1
2
,且a=
3
,b+c=3,(b>c),求b与c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(sinωx+cosωx,sinωx)
b
=(sinωx-cosωx,2
3
cosωx),设函数f(x)=
a
b
(x∈R)的图象关于直线x=
π
3
对称,其中常数ω∈(0,2)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移
π
12
个单位,得到函数g(x)的图象,用五点法作出函数g(x)在区间[-
π
2
π
2
]的图象.

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