Question

函数f（x）=2sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）-

1

2

在y轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₄|等于（　　）

• A、π
• B、2π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

考点：二倍角的正弦,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，继而令f（x）=0，求得x的值的集合，进而求得P₂和P₄，则答案可求．

解答：解：f（x）=2sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）-

1

2

=2（

2

2

sinx+

2

2

cosx）（

2

2

sinx+

2

2

cosx）-

1

2

=1+2sinxcosx-

1

2

=sin2x+

1

2

，
令f（x）=0，即sin2x+

1

2

=0，
sin2x=

1

2

，解得 2x=2kπ+

π

6

，或 2x=2kπ+

5π

6

，k∈z，
即 x=kπ+

π

12

，或 x=kπ+

5π

12

，k∈z．
故P₁、P₂、…、P_n…的横坐标分别为

π

12

、

5π

12

、

11π

12

、

17π

12

…
∴|P₂P₄|=π．
故选A．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的综合运用．