Question

17．设二次函数f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集是（-4，2）．
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[t，t+2]时，求函数f（x）的最大值g（t）．

Answer 1

分析 （1）由二次函数f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab＞0的解集是（-4，2），结合二次函数的性质，及韦达定理，可得a，b的值，进而得到函数的解析式；
（2）分析给定区间[t，t+2]与函数对称轴的关系，进而分析函数在定区间上的单调性，可得函数的最大值．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab＞0的解集是（-4，2）．
∴a＜0，且$\frac{b-5}{a}$=-2，$\frac{-a-ab}{a}$=-8，
解得：a=-1，b=7，
∴f（x）=-x²-2x+8；
（2）∵f（x）=-x²-2x+8的图象是开口朝下，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
当t+2≤-1，即t≤-3时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，
此时g（t）=f（t+2）=-t²-6t；
当t＜-1＜t+2，即-3＜t＜-1时，f（x）在[t，-1]上为增函数，在[-1，t+2]上为减函数，
此时g（t）=f（-1）=9；
当t≥-1时，f（x）在[t，t+2]上为减函数，
此时g（t）=f（t）=-t²-2t+8；
综上所述：f（t）=$\left\{\begin{array}{l}-{t}^{2}-6t，t≤-3\\ 9，-3＜t＜-1\\-{t}^{2}-2t+8，t≥-1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．