Question

已知异面直线a，b所成角为θ，过空间一定点P且与a，b所成角均为

π

3

的直线有4条，则θ的取值范围为（　　）

• A．(0，

  π

  3

  )
• B．(

  π

  6

  ，

  π

  3

  )
• C．(

  π

  3

  ，

  π

  2

  )
• D．(

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：把异面直线AC，BD平移到O，作SO⊥平面ABCD，画出图形，通过特殊值θ=60°，说明满足题意的直线的情况，即可解出θ的范围．

解答：解：把异面直线AC，BD平移到O，作SO⊥平面ABCD，
异面直线a，b成角为θ，为∠BOC=θ．满足题意的直线有4条，
所以必须在区域SOAB，SOBC，SOCD，SOAD内各有一条直线与AC，BD成60°角．
当θ=60°时，在区域SOAB这样的直线只能在平面ABCD，此时只有3条，不满足题意，
所以θ＞60°，因为异面直线所成的角θ≤90°，
所以满足题意的角θ∈（60°，90°]，即θ∈(

π

3

，

π

2

]．
故选D．

点评：本题是中档题，考查异面直线所成角的判断方法，考查空间想象能力，作图能力．