Question

设函数f（x）=|

1

2

x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（I）求a；
（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m²+n²=a，求

1

m

+

1

n

的最小值．

Answer 1

考点：绝对值三角不等式,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m²+n²=1，利用基本不等式求得

1

mn

≥2，再利用基本不等式求得

1

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：（I）函数f（x）=|

1

2

x+1|+|x|=

- 3 2 x-1，x＜-2 - 1 2 x+1，-2≤x≤0 3 2 x+1，x＞0

，
当x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，
所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得mn≤

1

2

，∴

1

mn

≥2
故有

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

≥2

2

，当且仅当m=n=

2

2

时取等号．
所以

1

m

+

1

n

的最小值为2

2

．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．