Question

17．设函数f（x）=-x³+2ex²-mx+lnx，若方程f（x）=x有解，则实数m的最大值是e²+$\frac{1}{e}$-1．

Answer 1

分析 根据条件先分离参数得m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$（x＞0），再构造函数，利用函数的单调性和值域确定参数m的取值范围．

解答 解：由f（x）=x分离参数m得，m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$（x＞0），
构造函数F（x）=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，
F'（x）=2（e-x）+$\frac{1-lnx}{x^2}$，x＞0，
①当x∈（0，e）时，e-x＞0，1-lnx＞0，所以，F'（x）＞0，F（x）单调递增；
②当x∈（e，+∞）时，e-x＜0，1-lnx＜0，所以，F'（x）＜0，F（x）单调递减；
由此可知，F（x）在x=e处取得极大值，也是函数的最大值，
即F（x）_max=F（e）=e²+$\frac{1}{e}$，
所以，F（x）的值域为（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
因此，m+1∈（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
所以，实数m的取值范围为：（-∞，e²+$\frac{1}{e}$-1]．
故答案为：e²+$\frac{1}{e}$-1．

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根存在的条件，涉及导数在研究函数单调性和最值中的应用，体现了函数与方程的思想，属于中档题．