Question

14．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，若点C满足|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=1，则|$\overrightarrow{OC}$|的取值范围是[$\sqrt{6}$-1，$\sqrt{6}$+1]．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角，建立平面直角坐标系，设出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐标，判断C的轨迹．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，∴$\sqrt{2}×\sqrt{2}$×cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=1，∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
设$\overrightarrow{OA}=（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），设$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$．则$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{6}$，∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=1，∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1，即|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=1．
∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，
∴|$\overrightarrow{OC}$|的最小值为$\sqrt{6}-1$，|$\overrightarrow{OC}$|的最大值是$\sqrt{6}$+1．
故答案为[$\sqrt{6}$-1，$\sqrt{6}$+1]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系，判断C点轨迹是关键．