Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n∈N^*）的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=

11

7

（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系建立条件方程即可得到结论．
（2）根据等比数列的定义即可证明数列是等比数列．

解答： 解：（1）过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），
则k_n=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1xn

=-

1

xn+2

，
则x_nx_n+1=x_n+2．
（2）记a_n=

1

xn-2

+

1

3

，则a_n+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
故{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列，公比q=-2．
则∵an=(-2)n，
∴xn=2+

1

(-2)n- 1 3

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的证明，考查学生的运算能力．