Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n-n•2ⁿ⁺¹+50＜0成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，结合条件递增，即可得到通项公式；
（Ⅱ）运用错位相减法求得前n项和，s_n-n•2ⁿ⁺¹+50＜0得到指数不等式，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
由题意有：2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解之得：

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
又∵{a_n}单调递增，∴a₁=2，q=2，
∴an=2n；
（Ⅱ）bn=2nlog22n=n•2n，
∴sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…①
∴2sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1…②
∴②-①得：sn=n×2n+1-2-22-23-…-2n=n×2n+1-

2(2n-1)

2-1

=-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹+2，
由sn-n•2n+1+50＜0，得-2ⁿ⁺¹+52＜0，∴2ⁿ⁺¹＞52．
又当n≤4时，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52，
当n≥5时，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52．
故使sn-n•2n+1+50＜0成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的性质，考查数列求和的方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．