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求函数f(x)=
ax
ax2+1
,x∈(0,1]的值域.
考点:函数的值域
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:f(x)=
ax
ax2+1
=
a
ax +
1
x
且a>-1,分类讨论a的不同取值范围,从而求函数的值域.
解答: 解:∵x∈(0,1],
∴f(x)=
ax
ax2+1
=
a
ax +
1
x
且ax+
1
x
>0在(0,1]上恒成立,
∴a>-1,
①当-1<a<0时,
∵ax+
1
x
在(0,1]单调递减,
∴ax+
1
x
≥1+a>0,
a
1+a
ax
ax2+1
<0,
即函数f(x)的值域为:[
a
1+a
,0);
②当α=0时,函数f(x)的值域为:{0};
③当0<α<1时,函数f(x)在(0,1]上单调递增,
∴0<f(x)≤
a
1+a

即函数f(x)的值域为:(0,
a
1+a
];
④当a≥1时,ax+
1
x
≥2
a
(当且仅当x=
1
a
时,等号成立),
∴0<
ax
ax2+1
a
2

即函数f(x)的值域为:(0,
a
2
].
点评:本题考查了函数的值域的求法,同时考查了分类讨论的思想,属于难题.
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x-m-2
},
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1
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x+1
x+2
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解关于a的不等式组
8-4a>
4
3
a≥2

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1
4
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OA
OB
=
 

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