Question

求函数f（x）=

ax

ax2+1

，x∈（0，1]的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：f（x）=

ax

ax2+1

=

a

ax + 1 x

且a＞-1，分类讨论a的不同取值范围，从而求函数的值域．

解答： 解：∵x∈（0，1]，
∴f（x）=

ax

ax2+1

=

a

ax + 1 x

且ax+

1

x

＞0在（0，1]上恒成立，
∴a＞-1，
①当-1＜a＜0时，
∵ax+

1

x

在（0，1]单调递减，
∴ax+

1

x

≥1+a＞0，
∴

a

1+a

≤

ax

ax2+1

＜0，
即函数f（x）的值域为：[

a

1+a

，0）；
②当α=0时，函数f（x）的值域为：{0}；
③当0＜α＜1时，函数f（x）在（0，1]上单调递增，
∴0＜f（x）≤

a

1+a

，
即函数f（x）的值域为：（0，

a

1+a

]；
④当a≥1时，ax+

1

x

≥2

a

（当且仅当x=

1

a

时，等号成立），
∴0＜

ax

ax2+1

≤

a

2

，
即函数f（x）的值域为：（0，

a

2

]．

点评：本题考查了函数的值域的求法，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．