Question

（2005•东城区一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=a，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AF-B的大小（用反三角函数表示）；
（Ⅲ）求三棱锥F-B₁AE的体积．

Answer 1

分析：（I）连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．通过证得DE∥BP来证明DE∥平面ABC；
（Ⅱ）∠B₁FB应为二面角B₁-AF-B的平面角．在Rt△B₁BF中求解．
（Ⅲ）利用体积转化法求得VF-B1AE=VB1-AFE=

1

3

S△AEF×B1F=

1

3

×

1

2

×AF×EF×B1F=

1

8

a3

解答：解：（I）连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．

由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP可证A₁E=EP
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC  （5分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°

F为BC的中点，∴BC⊥AF
又∵B₁B⊥平面ABC，由三垂线定理可证B₁F⊥AF．
∴∠B₁FB为二面角B₁-AF-B的平面角．
在Rt△B₁BF中，∠B₁BF=90°，由B₁B=a，BF=

2

2

a，
可求tan∠B1FB=

B1B

BF

=

2

∴∠B1FB=arctan

2

∴二面角B₁-AF-B的大小为arctan

2

（10分）
（III）又∵B1F2=

3

2

a2，EF2=

3

4

a2，B1E2=

9

4

a2
∴B1F2+EF2=B1E2
∴B₁F=FE，∵B₁F⊥AF，FE∩AF=F
∴B₁F⊥平面AEF．
∵C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF
∴VF-B1AE=VB1-AFE=

1

3

S△AEF×B1F=

1

3

×

1

2

×AF×EF×B1F=

1

8

a3

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，体积的计算考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．