Question

13．已知圆C经过三点O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法，求出圆C的方程；
（Ⅱ）根据直线和圆相交的弦长公式，分类讨论进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圆C经过三个点O（0，0）A（1，3）B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=-2，F=0，
即圆C的方程x²+y²-4x-2y=0．
（Ⅱ）圆的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=5，圆心C坐标为（2，1），半径R=$\sqrt{5}$，
∵直线l过点P（3，6），且被圆C截得弦长为4，
∴弦心距=$\sqrt{5-4}$=1，
①过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在，此时x=3，满足题意．
②当过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率存在时设为k，
直线方程为y-6=k（x-3）．即kx-y+6-3k=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{12}{5}$，所求直线方程为：12x-5y-6=0．
故所求直线方程为：x=3或12x-5y-6=0．

点评 本题考查圆的一般式方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，利用待定系数法以及圆心到直线的距离d与半径之间的关系是解决本题的关键．考查计算能力．