Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，定点A（4，2）在直线x-2y=0上，点P在线段OA上，过P点作圆M的切线PT，切点为T．
（1）若MP=

5

，求直线PT的方程；
（2）经过P，M，T三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L．

Answer 1

分析：（1）先由MP=

5

 求得P 的坐标，根据圆心到切线的距离等于半径1，求得切线的斜率，点斜式求切线的方程．
（2）设P（2t，t），0≤t≤2，经过 P，M，T三点的圆的圆心为PM的中点D（t，1+

t

2

），求得OD²的解析式，利用二次函数的性质求得OD的最小值L．

解答：解：（1）先由MP=

5

 求得：P（2，1）． 直线X=2与圆不相切，设直线PT：y-1=k（x-2），即：kx-y+1-2k=0，
圆心M（0，2）到直线距离为1，得：K=0 或k=-

4

3

，直线方程为：y=1或4x+3y-11=0．
（2）设P（2t，t），0≤t≤2，经过 P，M，T三点的圆的圆心为PM的中点D（t，1+

t

2

），
所以，OD2= t2+(1+

t

2

)2= 

5

4

t2+t+1，0≤t≤2，t=0 时，得OD的最小值L=1．

点评：本题考查用点斜式求直线的方程，直线和圆的位置关系，判断经过 P，M，T三点的圆的圆心为PM的中点D（t，1+

t

2

），是解题的难点和关键．