Question

17．已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R）．给出下列命题：
①f（x）是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
④f（x）有最小值|a²-b|；
⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则a²=b+3．
其中正确命题的序号是③⑤．（把你认为正确的都写上）

Answer 1

分析 分别讨论参数a，b的取值情况，结合二次函数的图象和性质进行判断即可．
①利用奇偶性的定义可以判断，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数．
②由f（0）=f（2）得到a，b的关系，然后根据a，b的关系通过配方得到对称轴．
③当a²-b≤0时，此时x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²≥0，此时可以去掉绝对值，利用二次函数的性质判断．
由④可以知道当a²-b≤0时，二次函数开口向上有最小值．
⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3，即可得出结论．

解答 解：①当a=0时，函数f（x）是偶函数，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数，所以错误．
②若f（0）=f（2），则|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．当a=1时，f（x）的对称轴为x=1．当b=2a-2时，f（x）=|x²-2ax+2a-2|=|（x-a）²-2-a²|，此时对称轴为x=a，所以错误．
③若a²-b≤0，则f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²，所以此时函数区间[a，+∞）上是增函数，所以正确．
④由③知，当a²-b≤0，函数f（x）有最小值|a²-b|=a²-b，所以错误．
⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3，∴a²=b+3，正确．
故答案为：③⑤

点评 本题主要考查函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．考查学生的综合应用．