Question

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．已知点，过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l₁和l₂，设l₁被圆M截得的弦长为s，l₂被圆N截得的弦长为t．是否为定值？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线C₁的焦点为F₂（2，0），得出双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），再设A（x，y）在抛物线C₁上，根据|AF₂|=5结合抛物线的定义得，x、y的值，最后根据双曲线定义结合点A在双曲线上，得a=1，可求双曲线方程；
（2）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，根据双曲线的渐近线方程和直线与圆相切的条件，得圆M的半径为，从而求出圆M的方程．过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l₁和l₂，设其中的一条斜率为k，则另一条的斜率为，利用直线的点斜式方程，将直线l₁和l₂的方程与圆M方程联解，可以得出弦长为s和t关于k的表达式，将其代入进行化简，可以得到定值．
解答：解：（1）∵抛物线C₁：y²=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），
设A（x，y）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x+2=5，∴x=3，∴y²=8×3，∴，
∴，
又∵点A在双曲线上，由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，
∴双曲线的方程为：．
（2）为定值．下面给出说明．
设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，双曲线的渐近线方程为：，
∵圆M与渐近线相切，∴圆M的半径为，
故圆M：（x+2）²+y²=3，
显然当直线l₁的斜率不存在时不符合题意，
设l₁的方程为，即，
设l₂的方程为，即，
∴点M到直线l₁的距离为，点N到直线l₂的距离为，
∴直线l₁被圆M截得的弦长，
直线l₂被圆N截得的弦长，
∴，
故为定值．
点评：本题考查了圆方程、直线方程、圆锥曲线的基本量和圆与圆锥曲线的关系等知识点，属于难题．解决本题一方面要求对圆方程、直线方程、圆锥曲线的方程有熟悉的理解，另一方面要求对含有字母的代数式化简、计算要精确到位，具有较强的综合性．